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Aufgaben erstellen und kontrollieren
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Kathete a:
Kathete b:
Hypothenuse c:
a Werte angeben und los geht's!
Formel
a² + b² = c²
Wortformel
Kathete² + Kathete² = Hypothenuse²
Die Summe der Kathetenquadrate ist genauso groß wie das Hypothenusenquadrat!
Vorwissen
A) Rechtwinklig gleichschenkliges DreieckEin Dreieck, dass einen rechten Winkel und zwei gleich lange Seiten besitzt.
B) Rechtwinkliges Dreieck
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90°).
Hypothenuse
Die längste Seite im Dreieck. Liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Katheten
Die zwei kurzen Seiten im Dreieck. Der rechte Winkel liegt zwischen ihnen.
Du musst quadrieren und Wurzel ziehen können!
Bevor wir zum Pythagoras kommen...
...schau dir die zwei kleinen blauen Quadrate an. Wenn du sie diagonal zerteilst, erhälst du vier Dreiecke.Du kannst diese Dreiecke so umlegen, dass aus ihnen das große rote Quadrat entsteht. Und wie groß ist das rote Quadrat? Richtig, genau doppelt so groß wie die zwei kleinen Blauen, denn es wurde ja aus diesen zusammengelegt!
Mathematisch kann man das so schreiben:
a² + a² = c²
Man nennt diesen Zusammenhang Dreieckssatz für gleischenklig rechtwinklige Dreiecke.
Herleitung
Wenn ein rechtwinkliges Dreieck drei unterschiedlich lange Seiten hat, gilt dieser Zusammenhang auch!In der Abbildung kannst du sehen, dass in das blaue Hypothenusenquadrat aus 25 weißen Quadraten besteht. Die beiden kleinen Quadrate über den Katheten enthalten 9 und 16 weiße Quadrate.
Zusammengefasst kannst du im Bild sehen:
Kathete² + Kathete² = Hypothenuse²
Möchtest du diesen Zusammenhang in Worte fassen, würdest du sagen: Die Summe der Kathetenquadrate ist genauso groß wie das Hypothenusenquadrat!Als Formel wird das so geschrieben:
a² + b² = c²
Das Video, dass dir die Formel in dein Gehirn brennt
Du wirst erst wissen, was das bedeutet, wenn du das Video auf der rechten Seite angeschaut hast. Für eine vollständige Gehirnwäsche das ganze Video zweimal durchschauen. Du wirst die Formel nie wieder vergessen.**Und wenn doch, dann weiß ich auch nicht mehr weiter... ;)
Video erstellt von: DorFuchs (YoutubeKanal)
Den Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck anwenden
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck die dritte Seite ausrechnen, wenn du zwei Seiten gegeben hast. Dafür setzt du die beiden Seitenlängen in die Formel ein.Beispiel 1 - Die Hypothenuse berechnen
Um die Hypothenuse auszurechnen, brauchst du nur die Katheten a und b in die Formel einzusetzen und danach zusammenzufassen. Am Ende musst du noch die Wurzel ziehen. Schon bist du fertig!
Beispiel 2 - Die Kathete berechnen
Wenn du die Hypothenuse und eine Kathete kennst, setzt duch auch in die Formel ein, formst sie dann um und ziehst am Ende die Wurzel.
Pythagoras im Alltag
Familie Hufschmied will ihr Haus neu streichen. Dafür soll eine Leiter an der Wand aufgestellt werden. Damit sie nicht umkippt, wird sie unten 1,5 Meter von der Wand entfernt angesetzt und an die Wand gelehnt. Die Leiter von Vater Achim kann auf bis zu 10 Meter ausgezogen werden.a) In welcher Höhe berührt die Leiter die Hauswand?
b) Kann der Dachüberstand in 11 Metern Höhe von der Leiter aus gestrichen werden?
Lösung für a)
Die Leiter berührt die Wand in ca. 9,89 Metern Höhe
Lösung für b)
Ja, denn die obersten Stufen der Leiter sind nur etwas mehr als einen Meter vom Dachüberstand entfernt.
Erklärung:
Durch die Leiter entsteht an der Wand ein Dreieck, bei dem eine Seite fehlt, die Länge vom Boden an der Hauswand entlang zur Spitze der Leiter. Diese soll bestimmt werden. Die Leiter bildet die Hypothenuse, die Länge einer Kathete ist gegeben, sie ist beim Abstand der Leiter zur Hauswand zu finden. Durch das Einsetzen der gegebenen Kathete und der Hypothenuse in den Satz des Pythagoras lässt sich dann die zweite Kathete berechnen.