Wachstum

Inhalt

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1. Was ist Wachstum 2. Absolutes und Prozentuales Wachstum 3. Wachstumsfaktor (Expon. Wachstum) 4. Wertetabellen (Expon. Wachstum) 5. Der Logarithmus 6. Beispiel für eine Sachaufgabe

1. Was ist Wachstum

Ein Wachstum liegt immer dann vor, wenn sich Datenwerte über einen Zeitraum verändern.

Steigt der Wert, dann liegt ein positives Wachstum vor. Sinkt der Wert, dann liegt ein negatives Wachstum vor. Bleibt der Wert gleich, liegt kein Wachstum vor.

Jahr	2018	2019	2020	2021	2022
Radler	80	120	90	90	110

2. Absolutes und prozentuales Wachstum

Das Wachstum kann man zunächst als festen Wert (absolut) berechnen. Im zweiten Schritt kann dann das prozentuale Wachstum berechnet werden.

Absolutes Wachstum (p)

Lies zwei Werte ab.
Ziehe den späteren y-Wert G₁ von dem früheren y-Wert G₀ ab.
p = G₁ – G₀

Prozentuales Wachstum (p%)

Teile das absolute Wachstum p durch den früheren Wert G₀.
p% = p : G₀

Beispiel 1

G₀ = 80 (Wert von 2018)
G₁ = 120 (Wert von 2019)

ABSOLUTES WACHSTUM
p = G₁ – G₀
p = 120 – 80
p = 40

2019 gab es 40 Fahrradfahrer*innen mehr als 2018.

PROZENTUALES WACHSTUM
p% = p : G₀
p% = 40 : 80
p% = 0,5 = 50%

2019 gab es 50% mehr Fahrradfahrer*innen mehr als 2018.

Beispiel 2

G₀ = 120 (Wert von 2019)
G₁ = 90 (Wert von 2020)

ABSOLUTES WACHSTUM
p = G₁ – G₀
p = 90 – 120
p = –30

2020 gab es 30 Fahrradfahrer*innen weniger als 2019.

PROZENTUALES WACHSTUM
p% = p : G₀
p% = –30 : 120
p% = –0,25 = –25%

2020 gab es 25% weniger Fahrradfahrer*innen mehr als 2019.

3. Exponentielles Wachstum (Wachstumsfaktor)

Das exponentielle Wachstum ist eine besondere Form des Wachstums: Dabei steigen die Werte immer um denselben Wachstumsfaktor q. Der Graph ist eine steil ansteigende (oder abfallende) Kurve.

Die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielle Funktionen lautet:

y = Startwert • Wachstumsfaktor^x

Beispiel 1

Den Wachstumsfaktor kann man an der Kurve ablesen. Die y-Werte verdoppeln sich bei jedem Schritt auf der x-Achse. Daher ist der Wachstumsfaktor q = 2.

Für den Fall, dass der Faktor nicht so einfach ablesbar ist, gibt es eine Formel. Man kann diese mit zwei beliebigen aufeinanderfolgenden y-Werten nutzen.

Wachstumsfaktor = y-Wert : Vorwert
q = G₁ : G₀
q = 8 : 4
q = 2

Wenn man den Wachstumsfaktor in die allgemeine Gleichung einsetzt, erhält man die Funktionsgleichung des Graphen.

y = Startwert • Wachstumsfaktor^x
y = 1 • 2^x | Zusammenfassen
y = 2^x

Beispiel 2

Wenn der Wachstumsfaktor kleiner als 1 ist, fällt die Kurve, anstatt zu steigen.

Die y-Werte halbieren sich bei jedem Schritt auf der x-Achse. Daher ist der Wachstumsfaktor q = 0,5.

Berechnen kann man den Faktor natürlich auch wieder:

Wachstumsfaktor = Wert : Vorwert
q = G₁ : G₀
q = 4 : 8
q = 0,5

Die allgemeine Gleichung lautet dann:

y = Startwert • Wachstumsfaktor^x
y = 1 • 0,5^x | Zusammenfassen
y = 0,5^x

4. Exponentielles Wachstum in Wertetabellen

Exponentielles Wachstum erkennt man in Wertetabellen daran, dass die Werte alle um den gleichen Faktor steigen oder fallen.

Beispiel

x	0	1	2	3
y	32	48	72	108

Bestimme erstmal den Wachstumsfaktor, indem du die ersten zwei aufeinanderfolgenden Werte durcheinander teilst:

q = G₁ : G₀
q = 48 : 32
q = 1,5

Multipliziere dann alle Werte mit den Wachstumsfaktor und prüfe, ob der Folgewert herauskommt:

32 • 1,5 = 48
48 • 1,5 = 72
72 • 1,5 = 108

Passt für alle Werte.
Die Wertetabelle stellt eine exponentielle Funktion dar.

Die passende Gleichung dazu kannst du nun auch aufstellen, da du Startwert und Wachstumsfaktor kennst:

y = Startwert • Wachstumsfaktor ^x
y = 32 • 1,5 ^x

Gegenbeispiel

x	0	1	2	3
y	12	24	36	48

Wachstumsfaktor bestimmen:

q = G₁ : G₀
q = 24 : 12
q = 2

Wertetabelle prüfen:

12 • 2 = 24
24 • 2 = 48
48 • 2 = 96

Die letzten beiden Werte passen nicht.
=> Das Wachstum ist in diesem Fall linear (Steigung immer um +12).

5. Der Logarithmus

Manchmal hat man die Lösung für eine Potenz, möchte aber herausfinden, mit welchem Exponenten gerechnet wurde.

2^x = 128
x = ?

Man könnte jetzt mit dem Taschenrechner ausprobieren und so auf die Lösung kommen:

2^x = 128

Ausprobieren:
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
2⁶ = 64
2⁷ = 128

Lösung:
x = 7

Das ist aber sehr umständlich. Zum Glück gibt es den sogenannten Logarithmus. Durch ihn kann mit dem Taschenrechner der gesuchte Exponent direkt bestimmt werden. Der Taschenrechner "probiert" dann für dich so lange aus, bis er den passenden Exponenten gefunden hat:

2^x = 128 | log₂(128)
x = 7

(also ist 2⁷ gleich 128)

Logarithmus bei einer Exponentialfunktion

Exponentielle Funktionen haben meist einen Startwert. Dann muss zu Beginn durch den Startwert geteilt werden, bevor der Logarithmus benutzt wird:

40 • 4^x = 1280  | : 40
     4^x = 32  | log₄(32)
      x = 3

6. Sachaufgabe (Beispiel)

Um Sachaufgaben lösen zu können, musst du die Informationen aus dem Text den Begriffen zuordnen können, die ich oben beschrieben habe. Lies also bitte von vorn, wenn du hier direkt hingesprungen bist.

Hier wird eine Sachaufgabe Stück für Stück aufgearbeitet.

Aufgabe

In einer Wassertonne sind 2048ml Wasser. Jede Woche verdunstet durch die Sonne 50% des Wassers.

Schreibe gegebene Werte auf.
Gegeben/gesucht anzeigen

a) Wie lautet die Gleichung zu der Situation?

Setze die gegebenen Werte in die allgemeine Gleichung für exponentielle Funktionen ein.
Gleichung anzeigen

b) Wie wie ml Wasser ist nach 7 Monaten übrig?

Schritt 1: Schreibe auf, was gegeben und gesucht ist.
Gegeben/gesucht anzeigen

Schritt 2: Setze die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung ein.
Lösung anzeigen

c) Nach wie vielen Monaten sind genau 64ml in der Tonne?

Schritt 1: Schreibe auf, was gegeben und gesucht ist.
Gegeben/gesucht anzeigen

Schritt 2: Setze die gegebenen Werte in die Gleichung ein.
Lösung anzeigen

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